Задача №2.12 ( Конова Валерия, 203 группа, 2011/12 уч.гг.)

Пусть r[u,v] - регулярная поверхность, и N - поле единичных нормалей к ней. Матричная функция G[u,v]=(({{<(Subscript[r, u]),(Subscript[r, u])>, <(Subscript[r, u]),(Subscript[r, v])>}, {<(Subscript[r, v]),(Subscript[r, u])>, <(Subscript[r, v]),(Subscript[r, v])>}})) называется первой фундаментальной формой поверхности, а матричная функция Q[u,v]=(({{<(Subscript[r, uu]),N>, <(Subscript[r, uv]),N>}, {<(Subscript[r, vu]),N>, <(Subscript[r, vv]),N>}}))  - второй фундаментальной формой это поверхности. Функция K[u,v] = ((det Q[u,v])/(det G[u,v])) называется гауссовой кривизной. Для поверхности z=(x^2)-(y^2) реализовать вычисление гауссовой кривизны в точке поверхности, заданной двумерным слайдером. Величину кривизны визуализировать как цветом точки, так и значением. Проверить, есть ли на поверхности точки положительной гауссовой кривизны, омбилические точки.

Manipulate[
u=U[[1]];
v=U[[2]];
Show[
Plot3D[(a^2)-(b^2),{a,-3, 3},{b,-3, 3},ColorFunction-> "BlueGreenYellow",PlotStyle->Directive[Specularity[White,40]],Mesh->None,Boxed->False,Axes-> False,Background->LightBlue,ImageSize-> 500],
Graphics3D[{Text[Style["z=(x^2)-(y^2)",Red,Large],{1,2,7}]}],
Graphics3D[{RGBColor[(100/(((1+4 (u^2)+4 (v^2)))^2)),1 - (1/(((1+4 (u^2)+4 (v^2)))^2)),0],PointSize[.05],Point[{u,v,(u^2)-(v^2)}]}]],
{{U,{0,0}},{-3,-3},{3,3}},

Text[Style["Координаты точкu: "Dynamic[{u,v}],Blue,20]],
Delimiter,
Text[Style["Гиперболический параболоид:",20,Blue]],Text[Style["Гауссова кривизна K =" Dynamic[((-4)/(((1+4 (u^2)+4 (v^2)))^2))],20,Blue]],
Text[Style["Средняя кривизна H =" Dynamic[-((2 (1+4 (u^2)))/(((1+4 (u^2)+4 (v^2)))^(3/2)))+((2 (1+4 (v^2)))/(((1+4 (u^2)+4 (v^2)))^(3/2)))],20,Blue]],
Text[Style["(H^2)-K =" Dynamic[(((-((2 (1+4 (u^2)))/(((1+4 (u^2)+4 (v^2)))^(3/2)))+((2 (1+4 (v^2)))/(((1+4 (u^2)+4 (v^2)))^(3/2)))))^2) - (((-4)/(((1+4 (u^2)+4 (v^2)))^2)))],20,Blue]],
ControlPlacement->{Left}]